Окончил Екатеринбургский государственный театральный институт в 2008 году по специальности «Артист кукольного театра», Санкт-Петербургский государственный институт кино и телевидения в 2016 году по специальности «Телеоператор».
Обладатель Диплома ХХ Фестиваля «Театры Санкт-Петербурга — детям» за работу с куклой в спектакле «Каштанка».
В 2015 году Константину Кожеву от имени Администрации Кировского района Санкт-Петербурга объявлена благодарность за высокий профессионализм, значительный вклад в культурно-просветительскую деятельность Кировского района Санкт-Петербурга и в связи с 25-летием со дня создания СПб ГУ «Театр кукол «Бродячая собачка».
В 2020 году объявлена Благодарность Комитета по культуре Правительства Санкт-Петербурга «За значительный вклад в развитие сферы культуры Санкт-Петербурга».
В 2020 году награжден Почетной Грамотой Администрации Кировского района Санкт-Петербурга «За значительный вклад в развитие культуры и искусства на территории Кировского района Санкт-Петербурга и в связи с празднованием 30-летнего юбилея ГБУ СПб «Театр кукол «Бродячая собачка».
В 2021 г. стал дипломантом Высшей театральной премии Санкт-Петербурга «Золотой софит» в номинации «Лучший актер в театре кукол» за роль Мачехи в спектакле «Золушка».
В 2022 г. вошел в число победителей театральной премии для молодых Санкт-Петербурга «Прорыв» в номинации «Лучший театральный менеджер».
В театре с 2009 года.
Спектакли:
"Маша и медведи или необыкновенные приключения в лесу"
"Солнышко и снежные человечки"
"Удивительное путешествие Нильса с дикими гусями"